☆ Équation différentielle avec changement de variable (Pondichéry, avril 2006)

Un laboratoire de recherche étudie l'évolution d'une population animale qui semble en voie de disparition.
En \(2000\) , une étude est effectuée sur un échantillon de cette population dont l'effectif initial est égal à mille.
Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en milliers d'individus, est approché par une fonction \(​f\) du temps \(t\) (exprimé en années à partir de l'origine \(2000\) ).
D'après le modèle d'évolution choisi, la fonction \(​f\) est dérivable, strictement positive sur \([0~;+\infty[\) , et satisfait l'équation différentielle  \((\text{E})\ y' = - \dfrac{1}{20}y(3 - \ln y)\) .

1. Démontrer l'équivalence suivante. 
Une fonction \(​f\) , dérivable, strictement positive sur \([0~;+\infty[\) , vérifie, pour tout  \(t\) de \([0~;+\infty[\) , \(f'(t) = - \dfrac{1}{20}f(t)[3 - \ln\left(f(t)\right)]\) si et seulement si la fonction  \(g =\ln (f)\) vérifie, pour tout \(t\) de \([0~;+\infty[\) , \(g'(t) = \dfrac{1}{20}g (t) - \dfrac{3}{20}\) .

2. Donner la solution générale de l'équation différentielle  \((\text{H})\ z' = \dfrac{1}{20}z - \dfrac{3}{20}\) .

3. En déduire qu'il existe un réel \(C\) tel que, pour tout   \(t\) de \([0~;+\infty[\) ,  \(f(t) = \text{exp}\left[3 + C \text{exp}\left(\dfrac{t}{20}\right)\right]\)  (la notation \(\text{exp}\) désigne la fonction exponentielle naturelle \(x \mapsto \text{e}^x\) ).

4. La condition initiale conduit donc à considérer la fonction \(f\) définie par :  \(f(t) = \text{exp}\left[3 - 3 \text{exp}\left(\dfrac{t}{20}\right)\right]\) .
    a. Déterminer la limite de la fonction  \(f\) en \(+\infty\) .
    b. Déterminer le sens de variation de  \(f\) sur \([0~;+\infty[\) .
    c. Résoudre dans \([0~;+\infty[\) l'inéquation \(f(t) < 0,\!02\) . Au bout de combien d'années, selon ce modèle, la taille de l'échantillon sera-t-elle inférieure à vingt individus ?